已知:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8
2
厘米,對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn).點(diǎn)E從點(diǎn)A,點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng),過E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H,過F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G,連接HG,EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1,AE,EB,BA圍成的圖形面積為S2精英家教網(wǎng)這里規(guī)定:線段的面積為0)E到達(dá)C,F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,解答下列問題:
(1)如圖,判斷四邊形EFGH是什么四邊形,并證明;
(2)當(dāng)0<x<8時(shí),求x為何值時(shí),S1=S2
(3)若y是S1與S2的和,試用x的代數(shù)式表示y.(如圖為備用圖)
分析:(1)首先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同得出AE=CF,再由正方形的性質(zhì)及已知EH⊥AC,F(xiàn)G⊥AC得出△CGF與△AHE都是等腰直角三角形,然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論;
(2)首先由勾股定理求出正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為16.再連接BD交AC于O,則BO=8.然后用含x的代數(shù)式分別表示S1,S2,當(dāng)S1=S2時(shí)得出關(guān)于x的方程,解方程即可;
(3)因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,此時(shí)S1=0,y=S2.故應(yīng)分0≤x<8與8≤x≤16兩種情況討論.
解答:解:(1)四邊形EFGH是矩形.理由如下:
∵點(diǎn)E從點(diǎn)A,點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng),
∴AE=CF.
∵EH⊥AC,F(xiàn)G⊥AC,
∴EH∥FG.
∵ABCD為正方形,
∴AD=DC,∠D=90°,∠GCF=∠HAE=45°,
又∵EH⊥AC,F(xiàn)G⊥AC,
∴∠CGF=∠AHE=45°,
∴∠GCF=∠CGF,∠HAE=∠AHE,
∴AE=EH,CF=FG,∴EH=FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形,
又∵EH⊥AC
∴平行四邊形EFGH是矩形;

精英家教網(wǎng)(2)∵正方形邊長(zhǎng)為8
2
,∴AC=16.
∵AE=x,連接BD交AC于O,則BO⊥AC且BO=8,
∴S2=
1
2
•AE•BO=4x.
∵CF=GF=AE=x,∴EF=16-2x,
∴S1=EF•GF=x(16-2x).
當(dāng)S1=S2時(shí),x(16-2x)=4x,
解得x1=0(舍去),x2=6.
∴當(dāng)x=6時(shí),S1=S2;
精英家教網(wǎng)
(3)①當(dāng)0≤x<8時(shí),y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x.
②當(dāng)8≤x≤16時(shí),AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16.
∴S1=(16-x)(2x-16).
∴y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.
綜上,可知y=
-2x2+20x(0≤x<8)
-2x2+52x-256(8≤x≤16)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正方形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識(shí),綜合性較強(qiáng),難度中等.
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A、精英家教網(wǎng)B、精英家教網(wǎng)C、精英家教網(wǎng)D、精英家教網(wǎng)

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(2)若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上或AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”,其余條件不變.試問(1)中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.

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(1)求證:△CQE∽△APD;
(2)問:在運(yùn)動(dòng)過程中CG•CP的值是否發(fā)生改變?如果不變,請(qǐng)求這個(gè)值;若改變,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△CGE為等腰三角形并求出此時(shí)△CGE的面積.

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18、如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的一點(diǎn),且AP=DP.求證:P是BC中點(diǎn).

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如圖,已知在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PB=
6
.下列結(jié)論:
①△APD≌△AEB﹔②點(diǎn)B到直線AE的距離為
3
﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+
2

其中正確結(jié)論的序號(hào)是( 。

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