B
分析:由AD平行與BC,利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補,根據(jù)∠ABC為直角,得到∠DAC為直角,得到一對直角相等,再由AD=BE,AE=BC,利用SAS可得出三角形ADE與三角形BEC全等,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到DE=EC,同時得到∠ADE=∠BEC,再由直角三角形的兩銳角互余及同角的余角相等得到∠DEC為直角,可得出三角形DEC為等腰直角三角形,即選項④正確;在直角三角形ADE中,由AD與AE的長,利用勾股定理求出DE的長,即為EC的長,在直角三角形DEC中,利用勾股定理求出DC的長,即可對選項②作出判斷;根據(jù)梯形ABCD的面積=直角三角形ADE的面積+直角三角形BEC的面積+直角三角形DEC的面積,即可求出梯形ABCD的面積,對選項①作出判斷;由三角形DEC為等腰直角三角形,可得出∠EDC=45°,而∠ADE不等于45°,故DE不平分∠ADC,選項③錯誤;過D作DF垂直于BC,由DF=AB=AE+EB,求出DF的長,在直角三角形DFC中,由DF與DC的長,利用勾股定理求出FC的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠BCD的值,利用特殊角的三角函數(shù)值即可判斷選項⑤是否正確,綜上,得到正確選項的個數(shù).
解答:
解:∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°,又∠ABC=90°,
∴∠DAB=90°,
在△ADE和△BEC中,
∵
,
∴△ADE≌△BEC(SAS),
∴DE=EC,∠ADE=∠BEC,
又∵∠AED+∠ADE=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°,
∴∠DEC=90°,
∴△DEC為等腰直角三角形,選項④正確;
∴∠EDC=45°,而∠ADE≠45°,
∴DE不平分∠ADC,選項③錯誤;
在Rt△ADE中,AE=6,AD=2,
根據(jù)勾股定理得:DE=
=2
,
∴CE=DE=2
,
在Rt△DEC中,根據(jù)勾股定理得:DC=
=4
,選項②正確;
S
梯形ABCD=S
△ADE+S
△BEC+S
△DEC=2×
×6×2+
×2
×2
=32,選項①正確;
過D作DF⊥BC,則DF=AB=AE+EB=6+2=8,
在Rt△CDF中,根據(jù)勾股定理得:CF=
=4,
cos∠BCD=
=
=
≠
,
∠BCD≠60°,選項⑤錯誤,
則其中正確的選項有①②④,共3個.
故選B.
點評:此題考查了直角梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及銳角三角函數(shù)定義,是一道綜合性較強的試題.