(2009•安順)已知:如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交于BE的延長線于點(diǎn)F,且AF=DC,連接CF.
(1)求證:D是BC的中點(diǎn);
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)可證△AFE≌△DBE,得出AF=BD,進(jìn)而根據(jù)AF=DC,得出D是BC中點(diǎn)的結(jié)論;
(證法2:可根據(jù)AF平行且相等于DC,得出四邊形ADCF是平行四邊形,從而證得DE是△BCF的中位線,由此得出D是BC中點(diǎn))
(2)若AB=AC,則△ABC是等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知AD⊥BC;而AF與DC平行且相等,故四邊形ADCF是平行四邊形,又AD⊥BC,則四邊形ADCF是矩形.
解答:(1)證明:∵E是AD的中點(diǎn),
∴AE=DE.
∵AF∥BC,
∴∠FAE=∠BDE,∠AFE=∠DBE.
∴△AFE≌△DBE.
∴AF=BD.
∵AF=DC,
∴BD=DC.
即:D是BC的中點(diǎn).(4分)

(2)解:四邊形ADCF是矩形;
證明:∵AF=DC,AF∥DC,
∴四邊形ADCF是平行四邊形.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC即∠ADC=90°.
∴平行四邊形ADCF是矩形.(8分)
點(diǎn)評:此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),平行四邊形、矩形的判定等知識.
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