Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長CB到E，使EB=AD，連接AE．
（1）求證：AE=CA；
（2）若AC⊥AB，AB=2，∠ABC=60°，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）若要證明AE=CA，則可轉化為證明△AEB≌△CAD即可；
（2）由AC⊥AB，可得△BAC是直角三角形，因為∠ABC=60°，所以∠ACB=30°，利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出BC的長，根據(jù)勾股定理即可求出AC的長．

解答：解：（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABE，
∵AB=CD，
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABE=∠D，
在△AEB和△CAD中，

AB=CD ∠ABE=∠D EB=AD

，
∴△AEB≌△CAD（SAS），
∴AE=CA；

（2）∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC=2

3

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理的運用和含30度角的直角三角形的性質，是重點內容，要熟練掌握．