Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AC上，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．已給的圖形中存在哪幾對(duì)相似三角形？請(qǐng)選擇一對(duì)進(jìn)行證明．

Answer 1

解：
圖中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB兩對(duì)．
證明（1）△ADE∽△AEC．
∵CE⊥BD于E，
∴∠CED=90°．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°．
∴CD=2ED．
∵CD=2AD，
∴AD=ED．
∴∠DEA=∠DAE．
∵∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠DEA=∠ECD=30°．
∵∠DAE=∠EAC，
∴△ADE∽△AEC．

證明（2）△BCD∽△ACB
提示：在證明△BCD∽△ACB時(shí)
證出①AE=CE，
②AE=BE，
③∠CBD=45°，
④△BCD∽△ACB．
分析：圖中有兩對(duì)相似三角形：（1）△ADE∽△AEC或（2）△BCD∽△ACB；
（1）首先由∠BDC=60°、CE⊥DE證得CD=2DE，由此可得出AD=DE，即∠DAE=∠DEA=30°，即可證得∠DEA=∠ECA=30°，加上公共角∠EAC，即可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）同（1）可證得∠EAC=∠ECA=30°，進(jìn)一步可證得∠EBA=∠EAB=15°；由此可得出AE=BE=CE，即△CEB是等腰Rt△；則∠CBE=45°=∠BAC，再加上公共角∠BCD，即可判定兩個(gè)三角形相似．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．