Question

（2012•天門(mén)）如圖，AB是⊙O的直徑，AC和BD是它的兩條切線(xiàn)，CO平分∠ACD．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AC=2，BD=3，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，通過(guò)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出OE=OA即可證得結(jié)論．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得出DC的長(zhǎng)度，繼而在RT△DFC中利用勾股定理可得出DF的長(zhǎng)，繼而可得出AB的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD，垂足為E，

∵AC是⊙O的切線(xiàn)，
∴OA⊥AC，
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，
∴OA=OE，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：過(guò)C點(diǎn)作CF⊥BD，垂足為F，

∵AC，CD，BD都是⊙O的切線(xiàn)，
∴AC=CE=2，BD=DE=3，
∴CD=CE+DE=5，
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，
∴四邊形ABFC是矩形，
∴BF=AC=2，DF=BD-BF=1，
在Rt△CDF中，CF²=CD²-DF²=5²-1²=24，
∴AB=CF=2

6

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點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，證明第一問(wèn)關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)的判定定理，解答第二問(wèn)關(guān)鍵是熟練切線(xiàn)的性質(zhì)，難度一般．