Question

已知方程組

y2=4x y=2x+a

有兩個實數(shù)解為

x=x1 y=y 1

和

x=x2 y=y2

且x₁x₂≠0，x₁≠x₂，設b=

1

x1

+

1

x2

，
（1）求a的取值范圍；
（2）試用關于a的代數(shù)式表示出b；
（3）是否存在b=3的a的值？若存在，就求出所有這樣的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,列代數(shù)式,根的判別式

專題：綜合題

分析：（1）把y=2x+a代入y²=4x中，得到關于x的方程：4x²+（4a-4）x+a²=0③，又知原方程組有兩組實數(shù)解，且x₁x₂≠0，x₁≠x₂，故此方程有不等的兩實數(shù)正根，根據(jù)根的判別式可知△＞0，結合方程③中根與系數(shù)的關系，可得x₁+x₂=-

4a-4

4

＞0④，x₁x₂=

a2

4

＞0⑤，三式聯(lián)合可求出a的取值范圍；
（2）對b的右邊進行，把④⑤代入，即可求⑥；
（3）把b=3代入⑥，解關于a的一元二次方程，結合（1）中a的取值范圍，即可求a．

解答：解：（1）∵y²=4x①，y=2x+a②，
把②代入①得
4x²+（4a-4）x+a²=0③，
又∵原方程組有兩組實數(shù)解，且x₁x₂≠0，x₁≠x₂，
∴③就有兩個不等的實數(shù)正根，
∴△=b²-4ac=（4a-4）²-4×4a²=-32a+16＞0，
解得a＜

1

2

，
由方程③可得
x₁+x₂=-

4a-4

4

＞0④，x₁x₂=

a2

4

＞0⑤，
解得a＜1，a²＞0（即a≠0），
∴a＜

1

2

且a≠0；
（2）∵b=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，
把④⑤代入b中，得
b=

- 4a-4 4

a2 4

=

4-4a

a2

⑥；
（3）把b=3代入⑥得

4-4a

a2

=3，
整理得3a²+4a-4=0，
解得a₁=-2，a₂=

2

3

，
由（1）中知a＜

1

2

且a≠0；
∴a=-2．

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關系．