Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有菱形OABC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），對(duì)角線OB、AC相交于點(diǎn)D，雙曲線y=（x＞0）經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且OBAC=40，有下列四個(gè)結(jié)論：

①雙曲線的解析式為y=（x＞0）；②直線OE的解析式為y=x；③tan∠CAO=；④AC+OB=6；其中正確的結(jié)論有（　　）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，由菱形的面積可求得BM長(zhǎng)，由此可求得AM長(zhǎng)，再根據(jù)F為AB中點(diǎn)即可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)F點(diǎn)在雙曲線上利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式；根據(jù)點(diǎn)E在雙曲線上可求得點(diǎn)E坐標(biāo)，繼而可求得直線OE的解析式；過(guò)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，則可得HM=BC，可求得AH，CH長(zhǎng)，由此即可求得tan∠CAO的值；在直角△OBM中，由勾股定理可求得OB的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件求得AC長(zhǎng)，則可求得AC+OB，可得出答案．

如圖，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，

∵A（5，0），

∴OA=5，

∴S菱形OABC=OABM=ACOB=×40=20，即5BM=20，

∴BM=4，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=4，由勾股定理可得AM=3，

∵F為AB中點(diǎn)，

∴FG是△ABM的中位線，

∴FG=BM=2，MG=AM=，

∴F（，2）

∵雙曲線過(guò)點(diǎn)F，

∴k=xy=×2=7，

∴雙曲線解析式為y=（x＞0），故①正確；

②由①知，BM=4，故設(shè)E（x，4）．

將其代入雙曲線y=（x＞0），得4=，

∴x=，

∴E（，4），

易得直線OE解析式為：y=x，故②正確；

③過(guò)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，

可知四邊形CHMB為矩形，

∴HM=BC=5，

∵AM=3，

∴OM=5﹣3=2，

∴OH=5﹣OM=3，

∴AH=5+3=8

且CH=BM=4，

∴tan∠CAO=，故③正確；

④在直角△OBM中，OM=2，BM=4，

由勾股定理得到：OB==，

∵OBAC=40，

∴AC=，

∴AC+OB=6，故④正確，

綜上所述，正確的結(jié)論由4個(gè)，

故選D．