Question

4．如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點，且∠A=∠EDF=60°，有下列結論：
①AE=BF；
②△DEF是等邊三角形；
③△BEF是等腰三角形；
④當AD=4時，△DEF的面積的最小值為$3\sqrt{3}$．
其中結論正確的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先連接BD，易證得△ADE≌△BDF，然后可證得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等邊三角形，然后由DE⊥AB時求出DE的長，即可求出△DEF的面積．

解答 解：連接BD，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正確；
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴②正確；
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③錯誤．
∵△DEF是等邊三角形，邊長最短時，面積最小，
∴當DE⊥AB時，DE最短，此時E為AB的中點，BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×sin60°=3$\sqrt{3}$，
∴④正確；
正確的結論有3個，故選：C．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．