Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點與坐標(biāo)原點重合，頂點在坐標(biāo)軸上，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿軸勻速向點運動，到達(dá)點即停止．設(shè)點運動的時間為．

（1）過點作對角線的垂線，垂足為點．求的長與時間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）在點運動過程中，當(dāng)點關(guān)于直線的對稱點恰好落在對角線上時，求此時直線的函數(shù)解析式；

（3）探索：以三點為頂點的的面積能否達(dá)到矩形面積的？請說明理由．

Answer 1

解：（1）在矩形中，，，

．

　　，．

　　，即，．

　　當(dāng)點運動到點時即停止運動，此時的最大值為．

　  所以，的取值范圍是．

　（2）當(dāng)點關(guān)于直線的對稱點恰好在對角線上時，三點應(yīng)在一條直線上（如答圖2）．

，．

　　，

．

　　．點的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的函數(shù)解析式為．將點和點代入解析式，

得解這個方程組，得

　　此時直線的函數(shù)解析式是．

（3）由（2）知，當(dāng)時，三點在一條直線上，此時點　不構(gòu)成三角形．故分兩種情況：

（i）當(dāng)時，點位于的內(nèi)部（如答圖2）．

過點作，垂足為點，由

可得．

　　

　　　　　．

　　若，則應(yīng)有，即．

　　此時，，所以該方程無實數(shù)根．

所以，當(dāng)時，

以為頂點的的面積不能達(dá)到矩形面積的．

　　（ii）當(dāng)時，點位于的外部．（如答圖3）

　　此時．

　　若，則應(yīng)有，即．

　　解這個方程，得，（舍去）．

　　由于，．

　　而此時，所以也不符合題意，故舍去．

　　所以，當(dāng)時，以為頂點的的面積也不能達(dá)到矩形 面積的．

　　綜上所述，以為頂點的的面積不能達(dá)到矩形面積的．