Question

7．菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，且AC=2BD，以AD為斜邊在菱形ABCD同側(cè)作Rt△ADE．

（1）如圖1，當(dāng)點E落在邊AB上時．
①求證：∠BDE=∠BAO；
②求$\frac{DO}{OF}$的值；
③當(dāng)AF=6時，求DF的長．
（2）如圖2，當(dāng)點E落在菱形ABCD內(nèi)部，且AE=DE時，猜想OE與OB的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和對頂角相等證明即可；
②根據(jù)∠BAO=∠ODF以及正切的概念計算；
③設(shè)OF=x，根據(jù)題意用x表示出OD、AO，根據(jù)題意求出x的值，根據(jù)勾股定理計算即可；
（2）連結(jié)BE，證明△AEO≌△DEB，得到△OEB為等腰直角三角形，即可解答．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又△ADE是直角三角形，
∴∠AEF=∠DOF=90°，
∴∠BDE+∠DFO=∠BAO+∠AFE，
∵∠AFE=∠DFO，
∴∠BDE=∠BAO；
②∵AC=2BD，
∴AO=2OB，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ODF=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DO}{OF}$=2；
③設(shè)OF=x，則OD=2x，AO=4x，
∵AF=6，
∴4x-x=6，
∴x=2，即OF=2，DO=4，
由勾股定理得，DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）OB=$\sqrt{2}$OE．
理由如下：如圖2，連結(jié)BE，
在△AEO和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠EAO=∠EDB}\\{AO=DB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△DEB，
∴EO=EB，∠AEO=∠DEB，
∴∠AEO-∠DEO=∠DEB-∠DEO，即∠OEB=∠AED=90°，
∴OB=$\sqrt{2}$OE．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的四條邊相等、對角線互相垂直、靈活運用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．