Question

【題目】如圖，△ABC中，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F．

（1）已知∠C＝90°．

①若BD＝6，AD＝4，則⊙O的半徑r為 ，△ABC的面積為 ；

②若BD＝m，AD＝n，請用含m、n的代數式表示△ABC的面積；

（2）若，試判斷△ABC的形狀，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）①2；24；②mn ；（2）直角三角形，理由見解析.

【解析】

（1）①先根據切線長定理得出，再根據勾股定理列出關于的方程，解方程即可，再根據三角形面積公式求解即可；

②根據①中的式子代入，利用完全平方公式和平方差公式得出，然后根據三角形面積公式求解即可；

（2）先把轉化成，然后對變形整理得到結果為，即可證明是直角三角形.

（1）①連接OD、OE、OF，如圖所示：

∵是的內切圓，D、E、F為切點，

∴，

又∵，

∴四邊形ECFO為正方形，

∴，

∴，

∴，

解得：或（舍去），

∴；

②∵，

由①可知，

對上式右邊進行配方得：，

∴，

∴；

（2）∵，

∴

，

∴是直角三角形.