Question

在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．
（1）在圖1中，證明：CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），求證：∠BDG=45°．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出對邊平行．推出∠F=∠CEF=∠AEB=∠BAE，根據(jù)等腰三角形判定推出即可；
（2）連接BG、CG，證△BEG≌△DCG，推出BG=DG，∠BGE=∠DGC，得出等腰直角三角形DGB，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，∠F=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠F=∠AEB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠F=∠CEF，
∴CE=CF．

（2）連接BG、CG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∵∠BAE=∠AEB，
∴∠AEB=45°，AB=BE=DC，
∴∠BEG=135°，
∵∠ECF=∠BCD=90°，G為EF中點，CE=CF，
∴CG=EG=FG，CG⊥EF，∠GCE=∠GCF=45°，
∴∠DCG=90°+45°=135°，
∴∠DCG=∠BEG，
在△BEG和△DCG中

BE=DC ∠BEG=∠DCG EG=CG

∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∵CG⊥EF，
∴∠CGE=90°=∠CGD+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠BGD，
∴∠GDB=∠DBG=45°．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對邊平行且相等．