Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=∠BAD．
（1）如圖1，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；
（2）如圖2，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長(zhǎng)線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長(zhǎng)線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明．

Answer 1

解：（1）證明：延長(zhǎng)MB到G，使BG=DN，連接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADN．
∴AG=AN，BG=DN，∠1=∠4．
∴∠1+∠2=∠4+∠2=∠MAN=∠BAD．
∴∠GAM=∠MAN．
又AM=AM，
∴△AMG≌△AMN．
∴MG=MN．
∵M(jìn)G=BM+BG．
∴MN=BM+DN．
（2）MN=BM-DN．
證明：在BM上截取BG，使BG=DN，連接AG．
∵∠ABC=∠ADC=90°，AD=AB，
∴△ADN≌△ABG，
∴AN=AG，∠NAD=∠GAB，
∴∠MAN=∠NAD+∠BAM=∠DAB，
∴∠MAG=∠BAD，
∴∠MAN=∠MAG，
∴△MAN≌△MAG，
∴MN=MG，
∴MN=BM-DN．
（3）MN=DN-BM．
分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長(zhǎng)MB到G，使BG=DN，連接AG．目的就是要證明三角形AGM和三角形ANM全等將MN轉(zhuǎn)換成MG，那么這樣MN=BM+DN了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形AMG和AMN中，只有一條公共邊AM，我們就要通過其他的全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AND中，已知了一組直角，BG=DN，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AN，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠MAN=∠BAD．由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出MN=GM了．
（2）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BM上截取BG，使BG=DN，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BM-BG=BE-DN．
（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在DN上截取DF，使DF=BM，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出∠DAF=∠BAM，AF=AM，那么MN=NF=DN-DF=BN-BM．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；本題中通過全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來(lái)構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．