Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，OE⊥AC，垂足為E，過點A作⊙O的切線與BC的延長線交于點D，sinD=，OD=20．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）連接BE，求線段BE的長．

Answer 1

解：（1）連接OA，

∵AD為⊙O切線，
∴∠OAD=90°，
∵sinD=，
∴∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=∠AOC=30°；

（2）

在Rt△OAD中，∠D=30°，OD=20，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=10，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，AB=，
在Rt△ABE中，BE=．
分析：（1）連接OA，由于AD是切線，那么∠OAD=90°，而sinD=，易知∠D=30°，那么易求∠AOC，再利用外角的性質(zhì)，可求∠ABC；
（2）根據(jù)（1）知，∠D=30°，OD=20，易證△AOC是等邊三角形，那么AC=10，在Rt△ABC中，利用∠ABC的正切值可求AB，再在Rt△ABE中，利用勾股定理可求BE．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)．解題關(guān)鍵是連接OA，構(gòu)造直角三角形，并且證明△AOC是等邊三角形．