Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由軸對稱的性質(zhì)，可知∠FBD=∠ABD，F(xiàn)B=AB，可得四邊形ABFD是正方形，則可求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）已知拋物線的頂點(diǎn)，則可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式．因?yàn)橐渣c(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的等腰三角形沒有給明頂角的頂點(diǎn)，而頂角和底邊都是惟一的，所以要抓住誰是頂角的頂點(diǎn)進(jìn)行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點(diǎn)進(jìn)行分類計(jì)算．

解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）；

（2）連接EF，在Rt△EBF中，∠B=90°
∴EF=

BE2+BF2

=

5

，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），n＞0，
∵頂點(diǎn)F（1，2），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+2，（a≠0）．
①當(dāng)EF=PF時(shí)，EF²=PF²，
∴1²+（n-2）²=5，
解得n₁=0（舍去），n₂=4．
∴P（0，4），
∴4=a（0-1）²+2，
解得a=2，
∴拋物線的解析式為y=2（x-1）²+2．
②當(dāng)EP=FP時(shí)，EP²=FP²，
∴（2-n）²+1=（1-n）²+9，
解得n=-

5

2

（舍去）．
③當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=

5

＜3，這種情況不存在，
綜上所述，符合條件的拋物線為y=2（x-1）²+2．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的確定以及等腰三角形的構(gòu)成情況等知識．
要注意（2）題在等腰三角形的腰和底不確定的情況下要分類討論，不要漏解．