Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合，AF=a。

（1）判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的條件下，若將“E為CD的中點(diǎn)”改為“CE= K·DE”，其中k是為正整數(shù)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出tan∠AFB的值。（用k的代數(shù)式表示）

Answer 1

解：（1）如圖（1），S四邊形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=42-1/2×4×a-1/2×2×（4-a）=12-a， ∵F為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合， ∴0≤a<4， ∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，a=0， S四邊形BCEF存在最大值12；S四邊形BCEF不存在最小值；
（2）如圖（2），延長(zhǎng)BC、FE交于點(diǎn)P ∵正方形ABCD， ∴AD∥BC， ∴△DEF∽△CEP， ∵E為CD的中點(diǎn)， ∴，PF=2EF， ∵∠BFE=∠FBC， ∴PB=PF， ∵AF=a， ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=PF/2=8-a/2， ∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2， ∴（8-a/2）2=22+（4-a）2， 整理，得3a2-16a+16=0 ， 解得a1=4/3，a2=4， ∵F點(diǎn)不與D點(diǎn)重合， ∴a=4不成立，a=4/3，tan∠AFB=AB/AF=3；
（3）tan∠AFB=2k+1（K為正整數(shù)）