Question

如圖，O是坐標原點，A是X軸上的一點，C是Y軸上的一點，OB是以A圓心的半圓的直徑，BD∥AC交半圓于D，其BD=2，
（1）當A、C的坐標分別為（x，0），（0，y）時，請用x的代數(shù)式表示y；
（2）當A點的坐標為（2，0）時，求過C、D兩點，頂點在直線x=2上的拋物線的解析式；
（3）在所求的拋物線上是否存在點P，使得S_△POB=2S_△OAD？

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建相似三角形來求解，連接OD，那么根據(jù)A，C的坐標可得，OB=2x，OC=y，那么通過相似三角形OCA和DOB可得出關(guān)于OD，OA，BD，OB的比例關(guān)系，即可得出用x表示y的代數(shù)式．
（2）當A的坐標為2時，即x=2，然后代入（1）中各線段的表達式中，不難得出C，D兩點的坐標，那么根據(jù)拋物線的頂點在x=2上，那么可用頂點式來設(shè)二次函數(shù)，然后將C，D的坐標代入即可得出拋物線的解析式．
（3）可先求出三角形POB的面積，由于OB的長為定值，因此可求出P點的縱坐標的絕對值，由于（2）的拋物線與x軸沒有交點且開口向上，因此P的縱坐標為正值，然后將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）由A（x，0），可得：B（2x，0）；
所以，OA=x，OB=2x，BD=2．
連接OD，則有：OD⊥BD；由勾股定理可得：OD=2

x2-1

因為，BD∥AC，
所以，∠OAC=∠DBO；
而且，∠AOC=90°=∠BDO，可得：△OAC∽△DBO；
所以，

OC

OD

=

OA

BD

，
可求得：OC=x

x2-1

由C（0，y），可得：y=x

x2-1

．

（2）由A（2，0），利用（1）中求得的各線段表達式，
容易求得：C（0，2

3

），D（3，

3

）．
設(shè)所求的頂點在直線x=2上的拋物線的解析式為y=a（x-2）²+b；
拋物線過C、D兩點，將C、D兩點坐標代入，
可求得：a=

3

3

，b=

2 3

3

．
代入拋物線的解析式，
可得：y=

3

3

x²-

4 3

3

x+2

3

．

（3）設(shè)使得S_△POB=2S_△OAD的點P坐標為（m，n），
則有：S_△POB=2n，2S_△OAD=2

3

；
所以，2n=2

3

，
解得：n=

3

．
點P在拋物線上，得：n=

3

3

m²-

4 3

3

m+2

3

，
將n=

3

代入，
可求得：m=1或m=3．
所以，存在這樣的點P，其坐標為（1，

3

）或（3，

3

）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過構(gòu)建相似三角形得出x，y的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．