Question

在四邊形ABCD中，邊AB=x，BC=CD=4，DA=5，它的對(duì)角線AC=y，其中x，y都是整數(shù)，∠BAC=∠DAC，那么x=________．

Answer 1

5或4
分析：此題要分兩種情況：①當(dāng)∠ABC=∠ADC時(shí)，可以證出△ABC≌△ADC；②當(dāng)∠ABC≠∠ADC時(shí)，過(guò)點(diǎn)C分別作CE垂直AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF垂直AD于點(diǎn)F．利用勾股定理可求出答案．
解答：證明：①當(dāng)∠ABC=∠ADC時(shí)，
又∠BAC=∠DAC，CB=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD=5
∴x=5；
②當(dāng)∠ABC≠∠ADC時(shí)，過(guò)點(diǎn)C分別作CE垂直AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF垂直AD于點(diǎn)F．
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
又有BC=CD=4，
∴△CEB≌△CFD，
∴BE=FD，AE=AF
∴AE=AF=AD-FD=5-BE，
∴AE=AB+BE=x+BE，
∴5-BE=x+BE，
BE=，
AE=x+=，
CE²=BC²-BE²=16-，
CA²=AE²+CE²，
y²=+16-，
y²=16+5x，
x=，
在△ADC中，1＜y＜9，x，y都是整數(shù)，
所以y²末位數(shù)字只能是6，
∴y=6，
∴x=4
故答案為：5或4．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要考慮全面各種情況，不要漏解．