Question

如圖11所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

1.求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)

2.過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．

3.在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

 

1.令，得   解得

令，得

∴ A  B  C    （2分）

2.∵OA=OB=OC=   ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，       ∴PAB=

     過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形

令OE=，則PE= ∴P

∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴  

解得，（不合題意，舍去）

     ∴PE=··························· 4分）

∴四邊形ACBP的面積=AB•OC+AB•PE

=  6分）

3.假設(shè)存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=  ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=  ∴AP=  ················· 7分）

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M

① 點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則

(ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=

∵AG=，MG=

即 

解得（舍去）（舍去）

(ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=

即

解得：（舍去） 

∴M ························· （10分）

②  點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 

(ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=

∵AG=，MG=     

∴   

解得（舍去）   

     ∴M 

(ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 

即

解得：（舍去）    

∴M

∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似

M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，     （13分）

解析:略