Question

某集團公司試銷一種成本為每件60元的節(jié)能產(chǎn)品，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)圖象如圖．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）設(shè)該集團公司銷售這種節(jié)能產(chǎn)品獲得利潤為W（萬元），試求出利潤W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)銷售單價定為多少元時，公司可獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？
（3）該公司決定每銷售一件產(chǎn)品，就抽出5元錢捐給希望工程．若除去捐款后，所獲利潤不低于450萬元，請你確定此時銷售單價的范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）可用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%得出x的取值范圍即可；
（2）根據(jù)利潤=銷售量×單件的利潤，然后將（1）中的函數(shù)式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來判斷出最大利潤；
（3）首先得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進而利用所獲利潤不低于450萬元，求出x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：

63k+b=57 70k+b=50

，
解得：

k=-1 b=120

．
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+120，
∵成本為每件60元的產(chǎn)品，銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%，
∴60≤x≤84；

（2）w=（x-60）（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，
∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)x＜90時，w隨x的增大而增大，
而60≤x≤84，
故當(dāng)x=84時，w=（84-60）×（120-84）=864．
答：當(dāng)銷售價定為84元/件時，商家可以獲得最大利潤，最大利潤是864元．

（3）∵該公司決定每銷售一件產(chǎn)品，就抽出5元錢捐給希望工程，
∴w=（x-60-5）（-x+120）=-x²+185x-7800，
當(dāng)w=450，則450=-x²+185x-7800，
解得：x₁=75，x₂=110，
而60≤x≤84，
故74≤x≤84，
即所獲利潤不低于450萬元，此時銷售單價的范圍是：74≤x≤84．

點評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的綜合應(yīng)用和主要結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，求出二次函數(shù)的最值問題；在本題中，還需注意的是自變量的取值范圍，否則容易按照“頂點式”的做法，求出誤解．