Question

如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓直徑AE的延長(zhǎng)線與大圓交于點(diǎn)B，點(diǎn)D在大圓上，BD與小圓相切于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與大圓相交于點(diǎn)C，且CE⊥BD．找出圖中相等的線段并證明．

Answer 1

【答案】分析：由AE是小⊙O的直徑，可得OA=OE，連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OF⊥BD，然后由垂徑定理，可證得DF=BF，易證得OF∥CE，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得AF=CF，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AD=BC，AB=CD．然后連接OD、OC，可證得△AOD≌△EOC，則可得BC=AD=CE=AE．
解答：解：圖中相等的線段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．
證明如下：
∵AE是小⊙O的直徑，
∴OA=OE．
連接OF，
∵BD與小⊙O相切于點(diǎn)F，
∴OF⊥BD．
∵BD是大圓O的弦，
∴DF=BF．
∵CE⊥BD，
∴CE∥OF，
∴AF=CF．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AD=BC，AB=CD．
∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，
∴AE=EC．
連接OD、OC，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，
∴∠AOC=∠EOC，
∴△AOD≌△EOC，
∴AD=CE．
∴BC=AD=CE=AE．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，小心別漏解．