Question

如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，于點D，AD⊥BC過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是⊙O的切線；
（3）若FG=BF，且⊙O的半徑長為，求BD和FG的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點，就可得出結論BF=EF．
（2）要證PA是⊙O的切線，就是要證明∠PAO=90°連接AO，AB，根據第1的結論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結論．
（3）點F作FH⊥AD于點H，根據前兩問的結論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的長度．
解答：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE．
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴．
∴．
∵G是AD的中點，
∴DG=AG．
∴BF=EF．

（2）證明：連接AO，AB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜邊BE的中點，
∴AF=FB=EF．
∴∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是⊙O的切線，
∴∠EBO=90°．
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是⊙O的切線．

（3）解：過點F作FH⊥AD于點H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF．
由已知，有BF=FG，
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH=GH．
∵DG=AG，
∴DG=2HG．
即．
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四邊形BDHF是矩形，BD=FH．
∵FH∥BC，易證△HFG∽△DCG，
∴．
即．
∵⊙O的半徑長為3，
∴BC=6．
∴．
解得BD=2．
∴BD=FH=2．
∵，
∴CF=3FG．
在Rt△FBC中，
∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF²=BF²+BC²∴（3FG）²=FG²+（6）²
解得FG=3（負值舍去）
∴FG=3．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．