Question

【題目】如圖 1，直線 y＝﹣x+6 與 y 軸于點 A，與 x 軸交于點 D，直線 AB 交 x 軸于點 B，AOB 沿直線 AB 折疊，點 O 恰好落在直線 AD 上的點 C 處．

（1）求點 B 的坐標(biāo)；

（2）如圖 2，直線 AB 上的兩點 F、G，DFG 是以 FG 為斜邊的等腰直角三角形，求點 G 的坐標(biāo)；

（3）如圖 3，點 P 是直線 AB 上一點，點 Q 是直線 AD 上一點，且 P、Q 均在第四象限，點 E 是 x 軸上一點，若四邊形 PQDE 為菱形，求點 E 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標(biāo)為（3，0）；（2）G的坐標(biāo)為（2，2）；（3）E的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

【解析】

（1）設(shè)BC＝OB＝x，則BD＝8﹣x，在RtBCD中，根據(jù)BC2+CD2＝BD2，構(gòu)建方程即可解決問題；

（2）作GM⊥x軸于M，FN⊥x軸于N，由DMG≌FND（AAS），推出GM＝DN，DM＝FN，設(shè)GM＝DM＝m，DM＝FN＝n，根據(jù)G、F在直線AB上，構(gòu)建方程組即可解決問題；

（3）如圖，設(shè)Q（a，﹣a+6），因為PQ∥x軸，且點P在直線y＝﹣2x+6上，推出P（a，﹣a+6），PQ＝a，作QH⊥x軸于H．由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，想辦法構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）對于直線y＝﹣x+6，

令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），

令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），

∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，

∴CD＝AD﹣AC＝4，設(shè)BC＝OB＝x，則BD＝8﹣x，

在RtBCD中，∵BC2+CD2＝BD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴B（3，0）．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+6，

∵B（3，0），

∴3k+6＝0，

∴k＝﹣2，

∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6，

作GM⊥x軸于M，FN⊥x軸于N，

∵DFG是等腰直角三角形，

∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，

∴DMG≌FND（AAS），

∴GM＝DN，DM＝FN，

設(shè)GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，

∵G、F在直線AB上，

則：m＝﹣2（8﹣n）+6，﹣n＝﹣2（8﹣m）+6，

解得：m＝2，n＝6

∴OM＝OD﹣DM＝2，GM＝2，

∴G（2，2）．

（3）①當(dāng)點E在y軸左側(cè)時，

如圖，設(shè)Q（a，﹣a+6），

∵PQ∥x軸，且點P在直線y＝﹣2x+6上，

∴P（a，﹣a+6），

∴PQ＝a，作QH⊥x軸于H．

∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，

∴＝，

由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，

∴QH＝DQ＝a，

∴a＝a﹣6，

∴a＝16，

∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），

∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），

∴E（﹣2，0）．

②當(dāng)點E在y軸右側(cè)時，

同理可得：點E（3.4，0）（舍去）；

故點E的坐標(biāo)為（﹣2，0）．