Question

如圖，已知△ABC中 AB=AC，∠A=36°，使點A、B重合對折，折痕為MD，連接BD．若△BCD的周長為5，BC=2．
（1）圖中除△ABC外還有哪些等腰三角形，并選其中一個三角形說明理由．
（2）求△ABC的周長．
（3）求折痕MD的長．

Answer 1

解：（1）△ADB、△BDC是等腰三角形．
證明：∵點A、B重合對折，折痕為MD，
∴△ADM≌△BDM，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD，
即△ADB是等腰三角形；

（2）由（1）知：BD=AD，
∵△BCD的周長為5，
∴BD+CD+BC=5，
又AD+CD=AC，
∴AC+BC=5，
∴AC=5-BC=5-2=3，
∴△ABC的周長為AC+BC+AB=5+3=8；

（3）∵AC=3，M為AB中點，
∴AM=，MD⊥AB，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=36°，∠BDC=72°
∴BD=BC=AD=2，
在Rt△AMD中，由勾股定理得，DM===，
∴折痕MD的長為．
分析：（1）折疊的實質(zhì)是圖形的全等，所以由題意可知△ADM≌△BDM，即可得到相等的角，進而判定三角形為等腰三角形；
（2）因為三角形BCD的周長為5，即：BD+CD+BC=5，由（1）可知BD=AD，又AD+CD=AC，所以可以求出AC的值，進而求出三角形ABC的周長；
（3）由題意可知，M為AB的中點，并且DM⊥AB，所以AM是AB的一半，再求出AD的長，利用勾股定理即可求出折痕DM的長．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，題目難度不大，但綜合性很強．