Question

【題目】如圖1，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E．

（1）當(dāng)BC=1時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)；

（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊或度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度或度數(shù)（只求一種即可）；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）作DF⊥OE于點(diǎn)F（如圖2），當(dāng)DF 2+EF取得最大值時(shí)，求sin∠BOD的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，DE的長(zhǎng)度是不變的。證明見(jiàn)解析；（3）

【解析】（1）根據(jù)垂徑定理，可得BD的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的中位線，可得答案，根據(jù)垂徑定理，可得圓心角相等，根據(jù)角的和差，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得DF2，根據(jù)二次函數(shù)的最值，可得DF的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OD的長(zhǎng)度，根據(jù)正弦的含義，可得答案．

解：（1）∵點(diǎn)O是圓心，OD⊥BC，BC=1，

∴BD=BC=．

又∵OB=2，

∴．

（2）解：存在，DE的長(zhǎng)度是不變的．

如圖，連結(jié)AB，

則．

∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE=AB=．

解法二：

存在，∠DOE的度數(shù)是不變的。

如圖，連結(jié)OC，

可得∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠AOB=900

∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°，

（3）解法一：

如圖，

設(shè)BD=x，則OD2=4-x2

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴ ∴

在Rt△DFE中，由（2）解法一，可知DE=

∴DF 2+EF =

∴當(dāng)，即BD 時(shí)，DF 2+EF取得最大值，

此時(shí)，。

解法二：

如圖，

設(shè)EF=x，由（2）解法一，可知DE=

在Rt△DFE中，

∴DF 2+EF =

∴當(dāng)，即EF時(shí)，DF 2+EF取得最大值，

此時(shí)，DF

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴OD

在Rt△BOD中，

∴。