【題目】如圖1,在半徑為2的扇形AOB中,∠AOB=90°,點(diǎn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)ODBC,OEAC,垂足分別為點(diǎn)D點(diǎn)E

1)當(dāng)BC=1時(shí),求線段OD的長(zhǎng);

2在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊或度數(shù)保持不變的角如果存在,請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度或度數(shù)(只求一種即可);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3DFOE于點(diǎn)F(如圖2),當(dāng)DF 2+EF取得最大值時(shí),求sinBOD的值

【答案】(1);(2存在,DE的長(zhǎng)度是不變的。證明見(jiàn)解析;(3

【解析】(1)根據(jù)垂徑定理,可得BD的長(zhǎng)度,根據(jù)勾股定理,可得答案;
(2)根據(jù)勾股定理,可得AB的長(zhǎng)度,根據(jù)三角形的中位線,可得答案,根據(jù)垂徑定理,可得圓心角相等,根據(jù)角的和差,可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理,可得DF2,根據(jù)二次函數(shù)的最值,可得DF的長(zhǎng)度,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得OD的長(zhǎng)度,根據(jù)正弦的含義,可得答案.

解:1∵點(diǎn)O是圓心,ODBCBC=1,

BD=BC=

又∵OB=2,

2存在,DE的長(zhǎng)度是不變的.

如圖,連結(jié)AB

∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、AC的中點(diǎn),

DE=AB=

解法二

存在,∠DOE的度數(shù)是不變的。

如圖,連結(jié)OC

可得∠1=2,3=4

∵∠AOB=900

∴∠2+3=45°即∠DOE=45°,

3解法一

如圖,

設(shè)BD=x,OD2=4-x2

由(2)解法二,可知∠DOE=45°,

∴△DOF是等腰直角三角形,

RtDFE中,由(2)解法一,可知DE=

DF 2+EF =

∴當(dāng),即BD 時(shí),DF 2+EF取得最大值,

此時(shí),。

解法二

如圖,

設(shè)EF=x,由(2)解法一,可知DE=

RtDFE中,

DF 2+EF =

∴當(dāng),即EF時(shí),DF 2+EF取得最大值,

此時(shí),DF

由(2)解法二,可知∠DOE=45°

∴△DOF是等腰直角三角形,

OD

RtBOD中,

。

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