Question

已知：如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)B在圓上，且AB=BD，∠A=30°．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為10，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵BD=BA，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠DBA=120°，
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD=30°，
∴∠OBA=90°，即AB⊥OB，
則AB是圓O的切線；

（2）解：由圓的直徑為10，得到OB=OD=5，
∵在Rt△AOB中，∠A=30°，
∴AO=2OB=10，
則AC=AO-OC=10-5=5．
分析：（1）連接OB，由BD=BA，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，進(jìn)而求出∠DBA的度數(shù)為120°，由OB=OD利用等邊對(duì)等角得到∠D=∠OBD=30°，由∠DBA-∠OBD求出∠OBA為直角，即可得到AB為圓O的切線；
（2）由圓的直徑求出半徑OB的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，由30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OA的長(zhǎng)，由OA-OC即可求出AC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．