Question

如圖，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜邊上，且∠MCN=45°，求證：MN²=AM²+BN²．

Answer 1

考點：勾股定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠A=∠ABC=45°，把△AMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BDC，根據(jù)性質(zhì)的性質(zhì)可得AM=BD，CM=CD，∠BCD=∠ACM，∠CBD=∠A=45°，再求出∠DCN=45°，然后利用“邊角邊”證明△CMN和△DCN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=DN，再利用勾股定理列式即可得證．

解答：證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45°，
把△AMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BDC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM=BD，CM=CD，∠BCD=∠ACM，∠CBD=∠A=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCN=∠BCD+∠BCN=∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°，
∴∠DCN=∠MCN，
在△CMN和△DCN中，

CM=CD ∠DCN=∠MCN CN=CN

，
∴△CMN≌△DCN（SAS），
∴MN=DN，
∵∠NBD=∠ABC+∠CBD=45°+45°=90°，
∴△BDN是直角三角形，
∴DN²=BD²+BN²，
∴MN²=AM²+BN²．

點評：本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．