Question

某低碳節(jié)能產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z（元/件）與年銷售量x（萬(wàn)件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡．

（1）求y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)年產(chǎn)量為x萬(wàn)件時(shí)，所獲毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬(wàn)件時(shí)，所獲毛利潤(rùn)最大？最大毛利潤(rùn)是多少？（毛利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)費(fèi)用）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的表達(dá)式及毛利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)費(fèi)用，可得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求函數(shù)最值即可．

解答：解：圖①可得函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（100，1000），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²（a≠0），
將點(diǎn)（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=

1

10

，
故y與x之間的關(guān)系式為y=

1

10

x²．
圖②可得：函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，30）、（100，20），
設(shè)z=kx+b，則

100k+b=20 b=30

，
解得：

k=- 1 10 b=30

，
故z與x之間的關(guān)系式為z=-

1

10

x+30；
（2）年產(chǎn)量為x萬(wàn)件時(shí)，生產(chǎn)費(fèi)用為

1

10

x²，銷售額為：zx=（-

1

10

x+30）x=-

1

10

x²+30x，
則w=-

1

10

x²+30x-

1

10

x²=-

1

5

x²+30x=-

1

5

（x²-150x）=-

1

5

（x-75）²+1125，
當(dāng)x=75時(shí)，獲得毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)為1125萬(wàn)元．
答：當(dāng)年產(chǎn)量為75萬(wàn)件時(shí)，獲得毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)為1125萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度一般．