Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A₁B₁C的位置，A₁B₁交直線CA于點(diǎn)D．若AC=6，BC=8，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)為

 

時(shí)，△A₁CD是等腰三角形．

Answer 1

分析：要使三角形是等腰三角形，可以有三種情況：
①當(dāng)CD=A₁C=AC=6時(shí)，三角形是等腰三角形；
②當(dāng)CD=A₁D時(shí)，根據(jù)等角的余角相等得∠B₁=∠B₁CD，則B₁D=CD，即CD=5時(shí)，三角形是等腰三角形；
③當(dāng)A₁C=A₁D時(shí)，首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥A₁B₁于E，運(yùn)用面積法求得A₁D上的高CE是4.8．然后在直角△A₁CE中由勾股定理求出A₁E的長(zhǎng)度，從而求得DE的長(zhǎng)度．最后在直角△CDE中，由勾股定理求出CD的長(zhǎng)度．

解答：解：三角形是等腰三角形，有如下三種情況：
①當(dāng)CD=A₁C=AC=6時(shí)，三角形是等腰三角形；

②當(dāng)CD=A₁D時(shí)，
∵∠B=90°-∠BCB₁=∠ACB₁，∠B=∠B₁，
∴∠B₁=∠B₁CD，
∴B₁D=CD．
∵CD=A₁D，
∴CD=

1

2

A₁B₁=5時(shí)，三角形是等腰三角形；

③當(dāng)A₁C=A₁D時(shí)，如圖．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥A₁B₁于E．
∵△A₁B₁C的面積=

1

2

×6×8=

1

2

×10×CE，
∴CE=4.8．
在△A₁CE中，∠A₁EC=90°，由勾股定理知A₁E=

62-4.82

=3.6，
∴DE=6-3.6=2.4．
在△CDE中，∠CED=90°，由勾股定理知CD=

4.82+2.42

=

12

5

5

．
故當(dāng)線段CD的長(zhǎng)為6或5或

12

5

5

時(shí)，△A₁CD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：注意此題的多種情況，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的線段相等，對(duì)應(yīng)的角相等，再進(jìn)行分析．