Question

如圖，△ABC的外心O關(guān)于三邊的對稱點分別為A′、B′、C′．求證：
（1）AA′、BB′、CC′交于一點P；
（2）設(shè)△ABC三邊中點分別為A₁、B₁、C₁，則P為△A₁B₁C₁的外心．

Answer 1

證明：（1）設(shè)圓O半徑為R．
由△ABC的外心O關(guān)于三邊的對稱點分別為A′、B′、C′，
知：BC′=B′C=R，∠C′BA=∠C′AB=∠OAB，∠B′CA=∠B′AC=∠OAC，
∴∠C′BA+∠B′CA=∠OAB+∠OAC=∠BAC，
∴∠C′BC+∠B′CB=∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，
∴BC′∥B′C，
∴BB′，CC′互相平分，交于中點，
同理CC′，AA′互相平分，交于中點，
∴AA′、BB′、CC′交于一點P；

（2）∵P為CC′中點，A₁為BC中點，
∴PA₁=B′C=R，
同理PB₁=R，PC₁=R，
∴PA₁=PB₁=PC₁，
∴P是△A₁B₁C₁的外心．
分析：（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)，得到BC′=B′C=R，∠C′BA=∠C′AB=∠OAB，∠B′CA=∠B′AC=∠OAC，進一步得到∠C′BC+∠B′CB=∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，根據(jù)平行線的判定證明BC′∥B′C，則得到平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，得到BB′，CC′互相平分，交于中點，同理得CC′，AA′互相平分，交于中點，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的中位線定理，得到PA₁=B′C=R，同理，得PB₁=R，PC₁=R，則點P到△A₁B₁C₁的三個頂點的距離相等，從而證明結(jié)論．
點評：此題綜合運用了對稱的性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理等，綜合性強，有難度．