(2012•孝感)如圖,AB是⊙O的直徑,AM,BN分別切⊙O于點A,B,CD交AM,BN于點D,C,DO平分∠ADC.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半徑R.
分析:(1)過O點作OE⊥CD于點E,通過角平分線的性質得出OE=OA即可證得結論.
(2)過點D作DF⊥BC于點F,根據(jù)切線的性質可得出DC的長度,繼而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的長,繼而可得出半徑.
解答:(1)證明:過O點作OE⊥CD于點E,
∵AM切⊙O于點A,
∴OA⊥AD,
又∵DO平分∠ADC,
∴OE=OA,
∵OA為⊙O的半徑,
∴OE是⊙O的半徑,且OE⊥DC,
∴CD是⊙O的切線.

(2)解:過點D作DF⊥BC于點F,
∵AM,BN分別切⊙O于點A,B,
∴AB⊥AD,AB⊥BC,
∴四邊形ABFD是矩形,
∴AD=BF,AB=DF,
又∵AD=4,BC=9,
∴FC=9-4=5,
∵AM,BN,DC分別切⊙O于點A,B,E,
∴DA=DE,CB=CE,
∴DC=AD+BC=4+9=13,
在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,
∴DF=
DC2-FC2
=
132-52
=12,
∴AB=12,
∴⊙O的半徑R是6.
點評:此題考查了切線的性質、角平分線的性質及勾股定理的知識,證明第一問關鍵是掌握切線的判定定理,解答第二問關鍵是熟練切線的性質,難度一般.
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3
4
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(2,3)
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