Question

已知△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且

AD

BD

=

AE

CE

=n，CD交BE于O，連AO并延長交BC于F．
（1）當(dāng)n=

1

2

時，求

AO

OF

的值；
（2）當(dāng)n=1時，求證：BF=CF；
（3）當(dāng)n=

 

時，O為AF中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）連接DE交AF于K，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可證得DE∥BC，繼而可得

AK

KF

=

AD

BD

=

1

2

，

OK

OF

=

DE

BC

=

AD

AB

= 

1

3

，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得

AO

OF

的值；
（2）由n=1時，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，繼而可得BF=CF；
（3）根據(jù)（1）的證明方法，即可求得答案．

解答：解：（1）連接DE交AF于K，
∵

AD

BD

=

AE

CE

=

1

2

，
∴DE∥BC，
∴

AK

KF

=

AD

BD

=

1

2

，

OK

OF

=

DE

BC

=

AD

AB

= 

1

3

，
∴設(shè)OK=a，則OF=3a，
∴KF=4a，
∴AK=2a，
∴OA=AK+OK=3a，
∴

AO

OF

=1；

（2）∵n=1時，AD=BD，AE=CE，
∴O是△ABC的重心，
∴AF是△ABC的中線，
∴BF=CF；

（3）∵

AD

BD

=

AE

CE

=

1

2

，
∴DE∥BC，
∴

AK

KF

=

AD

BD

=

1

2

，

OK

OF

=

DE

BC

=

AD

AB

= 

1

3

，
∴設(shè)OK=a，則OF=3a，
∴KF=4a，
∴AK=2a，
∴OA=AK+OK=3a，
∴

AO

OF

=1，
∴當(dāng)n=

1

2

時，O為AF中點(diǎn)．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評：此題考查了平行線分線段成比例定理與比例的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．