Question

如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)G，EK⊥CE交邊AD于點(diǎn)K，交對(duì)角線AC于點(diǎn)F．
（1）若AE=BE，探索線段EK與CE的數(shù)量關(guān)系，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若AE=2BE，探索線段EK與CE的數(shù)量關(guān)系，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）若AE=kBE，探索線段EK與CE的數(shù)量關(guān)系，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以求出AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，由EK⊥CE交邊AD于點(diǎn)K可以得出∠KEC=90°，通過(guò)證明△AKE∽△BEC可以得出EK與CE的數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)證明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．
（2）如圖2，通過(guò)證明△AKE∽△BEC可以得出EK與CE的數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)證明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．
（3）如圖3，通過(guò)證明△AKE∽△BEC可以得出EK與CE的數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)證明△AFE∽BGC和△BEG∽△DCG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．，
解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∠EBC=∠GBC=∠ABD=∠BDC=45°．
∴∠BEC+∠BCE=45°
∵EK⊥CE，
∴∠KEC=90°．
∴∠AEK+∠BEC=90°
∴∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴．
∵AE=BE，
∴，
∴，
∴；
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴EF=EG；

（2）如圖2，∵AE=2BE，
∴，
∴．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴，
∴．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴=；

（3）如圖3，∵AE=kBE，
∴，
∴．
∵∠DAB=∠ABC，∠AEK=∠BCE，
∴△AKE∽△BEC，
∴，
∴．
∵∠EAF=∠GBC，∠AEK=∠BCE，
∴△AFE∽△BGC，
∴，
∴EF=GC．
∵∠ABD=∠BDC，∠EGB=∠CGD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG=GC，
∴=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答本題時(shí)靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．