Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一個動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BC方向運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，交折線段BA-AD于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點(diǎn)N在射線BC上，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時，運(yùn)動結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點(diǎn)D時，求運(yùn)動時間t的值；
（2）在整個運(yùn)動過程中，設(shè)正方形PQMN與△BCD的重合部分面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動時，線段PQ與對角線BD交于點(diǎn)E，將△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，連接PF．是否存在這樣的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相關(guān)條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結(jié)論t的值；
（2）運(yùn)用求分段函數(shù)的方法，分四種情況，當(dāng)0＜t≤3，當(dāng)3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時，運(yùn)用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；
（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-，分為三種情況：EF=EP時可以求出t值，當(dāng)FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當(dāng)PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．
解答：解：（1）如圖2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，
∴四邊形AGHD為矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=（BC-AD）=3，AG=4，
∴當(dāng)正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點(diǎn)D時，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，此時MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒時，正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點(diǎn)D；

（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤3時，BP=t，
∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，
∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，
∴NR=t，
∴S==；
如圖3，當(dāng)3＜t≤4時，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=t+2，
∴S==2t+4；
如圖4，當(dāng)4＜t≤7時，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=，
∴S=+=；
如圖5，當(dāng)7＜t≤8時，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=+=-t²+22；
∴S=；

（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=，
由（1）可知EP=BP=t，
則EF=EQ=PQ-EP=4-，
①如圖6，當(dāng)EF=EP時，4-t=t，
∴t=4；
②如圖7，當(dāng)FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，
∴ER=EP=EF，
∴，
∴t=；
③如圖8，當(dāng)PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，
∵ES=EF=PE，
∴（4-t）=，
∴t=．
∴當(dāng)t=4、或時，△PEF是等腰三角形．
點(diǎn)評：本題是一道相似形綜合試題，考查了動點(diǎn)問題的運(yùn)用，等腰直角梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分段函數(shù)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答本題時求分段函數(shù)時靈活運(yùn)用梯形的面積是關(guān)鍵．在第三問運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解答是關(guān)鍵．