Question

如圖，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16．試問(wèn)在△ABC內(nèi)能否找到一點(diǎn)，使這點(diǎn)到各邊的距離相等？如果能，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出這一點(diǎn)，再證明，并求出這個(gè)距離；如果不能．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：此點(diǎn)在∠ABC和∠BAC的平分線的交點(diǎn)處；
首先作MD⊥AB，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得MD=MF=ME，連接CM，設(shè)MD=MF=ME=x，在△ABC中，根據(jù)AB=20，AC=12，BC=16可證出△ABC是直角三角形，再根據(jù)S_△ABC=S_△ABM+S_△BCM+S_△ACM即可算出答案．

解答：解：能，作∠ABC和∠BAC的平分線，其交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M到各邊的距離相等；理由如下：
作MD⊥AB，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，
∵BM是∠ABC的平分線，AM是∠BAC的平分線，
∴MD=MF，MD=ME（角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）
即MD=MF=ME．
連接CM，設(shè)MD=MF=ME=x，
在△ABC中，
∵AB=20，AC=12，BC=16，
而12²+16²=144+256=400=20²，
即AC²+BC²=AB²，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

1

2

×16×12=96，
又S_△ABC=S_△ABM+S_△BCM+S_△ACM=

1

2

（AB+BC+AC）x=

1

2

×48x=24x，
則24x=96，
x=4，
∴這個(gè)距離為4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了作已知角的平分線，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．