Question

已知，如圖①，∠MON=60°，點(diǎn)A，B為射線OM，ON上的動點(diǎn)（點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合），且AB=，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°.

（1）求AP的長；

（2）求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上；

（3） 如圖②，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP.①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）4（2）證明見解析（3）①8+4 ②4+4＜t≤8+4。

【解析】解： （1）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q 

∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4，

∴AQ=AB=×4=2 ，∠APQ=∠APB=×120°=60°。

在Rt△APQ中， sin∠APQ=

∴AP= ＝4。

（2）證明：過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T，

∴∠OSP=∠OTP=90°。

在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。

又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。 ∴PS=PT。

∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上。

（3） ①8+4 ②4+4＜t≤8+4。

（1）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q．根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長度。

（2）作輔助線PS、PT（過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S，PT⊥ON于點(diǎn)T）構(gòu)建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知PS=OT；最后由角平分線的性質(zhì)推知點(diǎn)P在∠MON的平分線上。

（3）利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB。

①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長度；

②當(dāng)AB⊥OP時(shí)，OP取最大值，即四邊形CDEF的周長取最大值；當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí)，四邊形CDEF的周長取最小值，據(jù)此寫出t的取值范圍。