Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于D、E，且⊙O與直線BD剛好相切．
（1）試證：∠CBD=∠A；
（2）若cosA=

2 5

5

，BD=2

5

，試計算⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥BD，則∠ADO+∠BDC=90°，而∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠ADO，易得∠CBD=∠A；
（2）連DE，在Rt△DCB，由cosA=

2 5

5

，BD=2

5

，根據(jù)三角函數(shù)的定義得BC=

2 5

5

×2

5

=4，再利用勾股定理得DC=2，在Rt△ABC中，設(shè)⊙O的半徑為r，得AD=2r•

2 5

5

，DE=

2 5

5

r，根據(jù)DE∥BC得DE：BC=AD：AC，得到關(guān)于r的方程

2 5

5

r：4=

4 5

5

r：（

4 5

5

r+2），解方程求出r，然后根據(jù)圓的面積公式計算即可．

解答：解：（1）證明：連OD，如圖，
∴∠A=∠ADO，
∵直線BD與⊙O相切，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠ADO，
∴∠CBD=∠A；
（2）連DE，cosA=cos∠CBD=

2 5

5

，
在Rt△DCB，cosA=

2 5

5

，BD=2

5

，
∴cos∠CBD=

BC

DB

，
∴BC=

2 5

5

×2

5

=4，
∴DC=

BD2-BC2

=2，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ABC中，設(shè)⊙O的半徑為r，
∴cosA=

AD

AE

=

2 5

5

，
∴AD=2r•

2 5

5

=

4 5

5

r，
∴DE=

2 5

5

r，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AC，即

2 5

5

r：4=

4 5

5

r：（

4 5

5

r+2），
∴r=

3 5

2

，
∴⊙O的面積=π•（

3 5

2

）²=

45

4

π．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理得推理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．