Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，△ADE經(jīng)逆時針旋轉(zhuǎn)后與△CDF重合．
（1）指出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）如果連接EF，那么△DEF是怎樣的三角形？請說明理由．
（3）現(xiàn)把△CDF向左平移，使DC與AB重合，得△BAH，AH交ED于點G．
①請問平移的距離是多少？此時△BAH能否由△ADE直接旋轉(zhuǎn)得到，若能，請說出怎樣旋轉(zhuǎn)（指出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度）；若不能，請說明理由．
②線段AH與ED有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由，并求AG的長（精確到0.1）．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，△ADE經(jīng)逆時針旋轉(zhuǎn)后與△CDF重合，
∴旋轉(zhuǎn)角∠ADC=90°，旋轉(zhuǎn)中心為點D．

（2）△DEF為等腰直角三角形；
理由：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DE=DF，
旋轉(zhuǎn)角∠EDF=∠ADC=90°
∴△DEF為等腰直角三角形；

（3）①平移距離為2．
此時△BAH能由△ADE直接旋轉(zhuǎn)得到；旋轉(zhuǎn)中心為正方形對角線的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)90°即可；
②AH⊥ED；
理由：∵∠BAH=∠ADE，∠BAH+∠HAD=90°，
∴∠ADE+∠HAD=90°，
∴AH⊥ED；
∵AD=2，AE=1，
由勾股定理，得DE==
由S_△ADE=×AD×AE=×AG×DE，得
AG==≈0.9．
分析：（1）四邊形ABCD為正方形，△ADE經(jīng)逆時針旋轉(zhuǎn)后與△CDF重合，可知旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DE=DF，∠EDF為旋轉(zhuǎn)角，可判斷△DEF為等腰直角三角形；
（3）①能，旋轉(zhuǎn)中心為正方形對角線的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)90°；
②由旋轉(zhuǎn)角為90°可知，線段AH與ED的位置關(guān)系為垂直；在△ADE中，利用面積法求AG．
點評：本題考查了平移、旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，特殊三角形的判定，勾股定理及面積法的運用能力，具有一定的綜合性．