點(diǎn)P在銳角△ABC的邊上運(yùn)動(dòng),試確定點(diǎn)P的位置,使PA+PB+PC最小,并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:作出△ABC最短邊上的高,根據(jù)圖形特點(diǎn)得PA+PB+PC=PA+BC,QA+QB+QC=QA+BC,從而推出PA<QA,BP'>AP,
到構(gòu)造矩形B'BoP'Po,得到B'B>BBo,通過計(jì)算可得P'A+P'B+P'C<PA+PB+PC.
解答:
解:當(dāng)點(diǎn)P在銳角△ABC最短邊上的高的垂足的位置時(shí),
PA+PB+PC最�。�
證明:如圖,P為△ABC一邊BC邊,
上的高的垂足,而Q為BC邊上的任一點(diǎn),
∵PA+PB+PC=PA+BC,QA+QB+QC=QA+BC,PA<QA,
∴PA+PB+PC<QA+QB+QC
又設(shè)AC為△ABC最短邊,作這邊上的高BP′(如圖),
可知BP'>AP.
在BP′上截取BoP′=AP,在BC上截取B′C=AC,
作B′Po⊥AC.垂足為Po
連接B′Bo
∵Rt△APC≌Rt△B'PoC,
∴AP=B'Po=BoP'.
∵四邊形B'BoP'Po是矩形,
∴∠B'BoB=90°,
在△B'BoB中,B'B>BBo,
∵P'A+P'B+P'C=BBo+AP+AC,PA+PB+PC=BP'+AC+AP,
∴P'A+P'B+P'C<PA+PB+PC.
點(diǎn)評(píng):此題考查了最短路徑問題,靈活運(yùn)用三角形的兩邊之和大于第三邊、直角邊小于斜邊等知識(shí),通過不等式的加減,即可得出結(jié)論.
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(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為
 
;
(2)如圖,在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′.求證:BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB′=PA+PB+PC.

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