Question

邊長為1的正方形ABCD中，E，F(xiàn)為對角線BD上的動點．
（Ⅰ）證明：AE+AF=CE+CF；
（Ⅱ）①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；
（Ⅲ）若∠EAF=45°，DF=2BE，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,軸對稱-最短路線問題

專題：證明題,動點型

分析：（I）根據(jù)全等三角形判定和正方形性質(zhì)求出△ABE≌△CBE，推出AF=CF，AE=CE即可；
（II）根據(jù)兩點之間線段最短，求出點E的位置即可；
（III）連接AC交BD于O，設DF=2x，BE=x，由正方形性質(zhì)和勾股定理求出AO，OB，AC，BD的長，證△AEF∽△DEA，求出AE的平方的值，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理求出AE的平方的值，得出方程，求出x的值，根據(jù)面積公式求出即可．

解答：（I）證明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
同理：AF=CF．
∴AE+AF=CE+CF．

（Ⅱ）解：①當A，C，E在同一直線上是最短的．
∴AC=AE+EC=

2

．
②如圖，連接CM，當E點位于BD與CE的交點處時，AE+BE+CE的值最小．
理由如下：連接MN，△AEB≌△MNB，
∴AE=MN，
∵∠EBN=60°，EB=NB，
∴△BEN是等邊三角形．
∴BE=BN．
∴AE+BE+CE=EN+MN+CE=CM=

MF2+CF2

=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=

2 + 6

2

．
 
（Ⅲ）解：連接AC交BD于O，設DF=2x，BE=x，
由勾股定理得：AO=

2

2

=BO=OD，BD=

2

，
即EF=BD-BE-DF=

2

-3x，DE=BD-BE=

2

-x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°=∠EAF，
∵∠AEF=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴

AE

DE

=

EF

AE

，
∴AE²=DE•EF=（

2

-x）•（

2

-3x），
在直角三角形AEO中，由勾股定理得：AE²=AO²+EO²=(

2

2

)2+(

2

2

-x)2，
∴（

2

-x）（

2

-3x）=(

2

2

)2+(

2

2

-x)2，
解得：x=

3 2 + 10

4

＞

2

（舍去），x=

3 2 - 10

4

，
∴EF=

2

-3x=

3 10 -5 2

4

∴四邊形AECF的面積是

1

2

EF×AC=

1

2

×

3 10 -5 2

4

×

2

=

3 5 -5

4

．

點評：本題綜合運用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對稱和最短問題等知識點，此題有一點難度，對學生有較高的要求，第三問得出關于x的方程是解此題的難點．