Question

【題目】如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=，∠BAD=60°，且AB＞．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=10，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP長(zhǎng)的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）；（3）AP的最大值為12，AP的最小值為6．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠FPG，最后求出∠EPF．

（2）先判斷出Rt△PME≌Rt△PNF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可，（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況及菱形的性質(zhì)判斷求出AP最大和最小值．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，如圖1所示．

∵PE=PF=6，EF，∴FG=EG=，∠FPG=∠EPG=∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PN⊥AD于點(diǎn)N，如圖2所示．

∵AC為菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=；

（3）如圖，當(dāng)△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AD，AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在P1，P之間運(yùn)動(dòng)，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值為12，AP的最小值為6．