Question

已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，直線AD與BC間的距離是4厘米
（1）如圖，若∠ABC的平分線BE交CD的延長(zhǎng)線于E，且BC=CE=5厘米，求四邊形ABCD的面積．
（2）若∠ABC=∠DCB，AD+BC=8厘米，連接AC、BD，求證：AC⊥BD．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，再利用等角對(duì)等邊得出∠2=∠E，即可得出∠1=∠E，AB∥EC，再利用平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可求出面積；
（2）根據(jù)已知畫(huà)出圖形，再利用平行四邊形的判定以及等腰梯形的判定和直角三角形的判定得出答案即可．

解答：（1）解：如圖1，∵∠ABC的平分線BE交CD的延長(zhǎng)線于E，
∴∠1=∠2，
∵BC=CE=5厘米，
∴∠2=∠E，
∴∠1=∠E，
∴AB∥EC，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD的面積為：底乘以高=BC×4=5×4=20（平方厘米）；

（2）證明：如圖2，點(diǎn)D作DE∥AC交BC延長(zhǎng)線于E，作DF⊥BC，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，AC=DE，
則BE=BC+CE=AD+BC=8cm，
∵∠ABC=∠DCB，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴DF也是△BDE的中線，
又∵BE=2DF，
∴△BDE是直角三角形，
則∠BOC=∠BDE=90°，
故AC⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定以及等腰梯形的判定和直角三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知作出延長(zhǎng)底邊作對(duì)角線的平行線是解題關(guān)鍵．