Question

（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF交AC于F，過點F作DF∥BC，求證：BD=DF．

（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E．那么BD，CE，DE之間存在什么關系？并證明這種關系．
（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E．那么BD，CE，DE之間存在什么關系？請寫出你的猜想．（不需證明）

Answer 1

解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∴BD=DF；

（2）BD+CE=DE，
理由是：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∴BD=DF；
同理可證：CE=EF，
∵DE=DF+EF，
∴BD+CE=DE；

（3）BD-CE=DE．
分析：（1）根據平行線的性質和角平分線定義得出∠DFB=∠CBF，∠ABF=∠CBF，推出∠DFB=∠DBF，根據等角對等邊推出即可；
（2）與（1）證明過程類似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出結論；
（3）與（1）證明過程類似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出結論．
點評：本題考查了角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識點，本題具有一定的代表性，證明過程類似．