Question

如圖①，點A、B是雙曲線（k>0）上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于點G，得到正方形OCGF（陰影部分），且，△AGB的面積為2．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）在雙曲線上移動點A和點B，上述作圖不變，得到矩形OCGF（陰影部分），點A、B在運動過程中始終保持不變（如圖②），則△AGB的面積是否會改變？說明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形OCGF是正方形，∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°．
         ∵OC² =，∴OC=CG=GF=OF=1．
       ∴點A的橫坐標(biāo)為1，點B縱坐標(biāo)為1．
       ∵點、是雙曲線上的點，
       ∴點A的縱橫坐標(biāo)為，點B橫坐標(biāo)為．
        ∴AC=k，BF=k． ∴AG=k-1，BG=k-1． 
        ∵∠AGB=∠CGF=90°， ∴S_△AGB =AG·BG==2．
           解得x=3（取正值）．
       ∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）點A、B在運動過程中△AGB的面積保持不變，
理由如下：設(shè)矩形OCGF的邊OC=m，∵= OC·OF=1，∴OF=．
      ∴點A的橫坐標(biāo)為m，點B縱坐標(biāo)為．    
     ∵點A、B是雙曲線上的點， 
     ∴點A的縱橫坐標(biāo)為，點B橫坐標(biāo)為
     ∴AC=，BF=3 m．又FG= OC=m，CG= OF=． 
     ∴AG= AC-CG=-=，BG=BF-FG=3 m-m =2 m
     ∴S_△AGB =AG·BG=··2 m=2．
    ∴點A、B在運動過程中△AGB的面積保持不變．