Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點(diǎn)D，交AB的延長線于點(diǎn)C．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CB=2，CE=4，①求圓的半徑；②求DE、DF的長．

Answer 1

（1）證明：
連接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠CAD，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∵DE⊥AD，
∴OE⊥DE，
∵OE為半徑，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：①設(shè)⊙O的半徑是r，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OEC=90°，
由勾股定理得：OE²+CE²=OC²，
即r²+4²=（r+2）²，
r=3，
即⊙O的半徑是3．

 ②∵由（1）知：OE∥AD，
∴=，△COE∽△CAD，
∴=，=，
∴DE=，=，
∴=，
∴AD=，
連接BE、EF，
∵AB是直徑，
∴∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵B、E、A、F四點(diǎn)共圓，
∴∠EFD=∠ABE，
∵AE平分∠CAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE+∠EFD=90°，
∵ED⊥AD，
∴∠FED+∠EFD=90°，
∴∠DAE=∠FED，
∵∠D=∠D，
∴△EFD∽△AED，
∴=，
∴DF===．
分析：（1）連接OE，證OE∥AD，即可得出OE⊥CD根據(jù)切線判定推出即可．
（2）證△COE∽△CAD，求出DE，AD，證△DEF∽△DAF，推出DE²=DF×AD，即可求出DF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．