Question

15．如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A、B，點A、B的坐標分別是（-1，0）、（4，0），與y軸交于點C，點P在第一、二象限的拋物線上，過點P作x軸的平行線分別交y軸和直線BC于點D、E，設(shè)點P的橫坐標為m，線段DE的長度為d．
（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）當點P在第一象限時，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當PE=2DE時，求m的值；
（4）如圖②，過點E作EF∥y軸交x軸于點F，直接寫出四邊形ODEF的周長不變時m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式，根據(jù)E點的縱坐標，可得E點的橫坐標，根據(jù)兩點間的距離，可得答案；
（3）根據(jù)PE與DE的關(guān)系，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程根據(jù)解方程，可得答案；
（4）根據(jù)周長公式，可得答案．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{-（-1）^{2}-b+c=0}\\{-{4}^{2}+4b+c=0}\end{array}\right.$                                      
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式是y=-x²+3x+4；                   
（2）當x=0時，y=4．
∴點C的坐標是（0，4）．
設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b．
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+4，
∵PD∥x軸，
∴y_P=y_E=-m²+3m+4．．
∴x_E=-m²+3m．
圖①，
當0＜m＜3時，如圖①，d=-m²+3m．

當3＜m＜4時，如圖②，d=m²-3m．
（3）當0＜m＜3時，DE=-m²+3m，PE=-m²+4m．
∵PE=2DE，
∴-m²+4m=2（-m²+3m）．
解得m₁=0（不合題意，舍去），m₂=2．
當3＜m＜4時，DE=m²-3m，PE=-m²+4m．
∵PE=2DE，
∴-m²+4m=2（m²-3m）．
解得m₁=0（不合題意，舍去），m₂=$\frac{10}{3}$．
當PE=2DE時，m=2或m=$\frac{10}{3}$．
（4）-1＜m＜0或3＜m＜4．
解答如下：當0＜m＜3時，如圖③，DE=-m²+3m，EF=-m²+3m+4．
∴C=2（-m²+3m+4-m²+3m）=-4m²+12m+8．

當-1＜m＜0或3＜m＜4時，如圖④、⑤，
DE=m²-3m，EF=-m²+3m+4．
∴C=2（-m²+3m+4+m²-3m）=8．
綜上所述：四邊形ODEF的周長不變時m的取值范圍是-1＜m＜0或3＜m＜4．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于x軸直線上點的縱坐標相等得出E點的縱坐標是解題關(guān)鍵；利用PE與DE的關(guān)系得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵；利用矩形的周長公式是解題關(guān)鍵．