Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，D是AB上一點(diǎn)，以BD為圓心的⊙O切AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，OG⊥BC于G點(diǎn)．
（1）求證：CE=OG；
（2）若BC=3cm，sinB=，求線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵⊙O切AC于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC，
即∠OEC=90°，
∵OG⊥BC，
∴∠CGO=90°，
∵Rt△ABC中，∠C=Rt∠，
∴四邊形OGCE是矩形，
∴CE=OG；

（2）解：在Rt△ABC中，sinB=，
∴cosB==，
∵BC=3cm，
∴AB=BC÷cosB=5（cm），
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴△AEO∽△ACB，
∴，
即，
解得：OB=，
∴DB=20B=，
∴AD=AB-DB=5-=．
分析：（1）首先連接OE，由⊙O切AC于點(diǎn)E，OG⊥BC，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，易證得四邊形OGCE是矩形，則可證得CE=OG；
（2）由BC=3cm，sinB=，可求得AB的長(zhǎng)，易證得△AEO∽△ACB，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得OB的長(zhǎng)，繼而求得AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．