解:(1)過點(diǎn)C作CH⊥x軸,垂足為H;
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OB=4,OA=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
;
由折疊的性質(zhì)知:∠COB=30°,OC=AO=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∴∠COH=60°,OH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,CH=3;
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,3).
∵拋物線y=ax
2+bx(a≠0)經(jīng)過C(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,3)、A(2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,0)兩點(diǎn),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/368146.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/368147.png)
;
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:y=-x
2+2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
x.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/528391f1538a1.png)
(2)作A關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)A′,BA′交OC于點(diǎn)Q.
∵B點(diǎn)坐標(biāo)是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/236909.png)
∴tan∠BOA=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/56715.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
∴∠BOA=30°
∴∠BOC=30°,
∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°,
∴OA′與y軸的夾角是30°.
又∵OA=OA′=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∴A′的坐標(biāo)是:(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,3)
設(shè)直線A′B的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/541745.png)
則直線A′B的解析式是y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/19795.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/137.png)
.
直線OC的解析式是:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
x.
解方程組:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/541746.png)
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/541747.png)
故Q的坐標(biāo)是:(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46499.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1159.png)
).
(3)存在.
因?yàn)閥=-x
2+2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,3),
即為點(diǎn)C,MP⊥x軸,垂足為N,設(shè)PN=t;
因?yàn)椤螧OA=30°,
所以O(shè)N=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
t,
∴P(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
t,t);
作PF⊥CD,垂足為F,ME⊥CD,垂足為E;
把x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
t代入y=-x
2+2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
x,
得y=-3t
2+6t,
∴M(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
t,-3t
2+6t),E(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,-3t
2+6t),
同理:F(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,t),D(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,1);
要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CE=FD,
即3-(-3t
2+6t)=t-1,
解得t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
,t=1(舍),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
),
∴存在滿足條件的P點(diǎn),使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5283.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
).
分析:(1)在Rt△AOB中,根據(jù)AB的長(zhǎng)和∠BOA的度數(shù),可求得OA的長(zhǎng),根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC,且∠BOC=∠BOA=30°,過C作CD⊥x軸于D,即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長(zhǎng)求得CD、OD的值,從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值,從而確定該拋物線的解析式;
(2)作出A關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn),連接AA′,與OC的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn),求出OC與AA′的解析式,解方程組即可;
(3)根據(jù)(2)所得拋物線的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)(即C點(diǎn)),設(shè)直線MP與x軸的交點(diǎn)為N,且PN=t,在Rt△OPN中,根據(jù)∠PON的度數(shù),易得PN、ON的長(zhǎng),即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo),過M作ME⊥CD(即拋物線對(duì)稱軸)于E,過P作PQ⊥CD于Q,若四邊形CDPM是等腰梯形,那么CE=QD,根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo),易求得CE、QD的長(zhǎng),聯(lián)立兩式即可求出此時(shí)t的值,從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),難度較大