Question

如圖，直角梯形紙片ABCD，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=2cm，tan∠D=

1

2

．E為AD邊上一動點．（E不與D重合，但可與A重合）過點E作EF⊥CD于點F，將紙片沿著EF折疊，使點D落在直線CD上的D′處．設DF=x（cm），△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分面積為S（cm²）．
（1）求S與x的函數(shù)關系式；
（2）在折疊過程中，是否存在x的值，使得△AED′是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）記線段AD所在的直線為l，平移直線l，交BC所在的直線于點G，交CD所在的直線于點H，在直線AB上存在點I，使得△GHI為等腰直角三角形，請直接寫出滿足題意的線段IB的所有可能長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可以得出四邊形ABCG為正方形，在根據(jù)比例求出CD的長度，根據(jù)x的取值范圍分兩種情況討論，求出重疊部分面積．
（2）根據(jù)直角三角形勾股定理判斷，并分∠AD′E和∠EAD′分別為直角時，兩種情況計算求解出x的值．
（3）根據(jù)平移性質可得∠GHC=∠D，分∠IHG、∠IGH各為直角兩種情況討論，計算IB的長度即可．

解答：解：如圖①，過A作AG⊥CD于G，∴∠AGC=90°
∵AB∥CD，∠B=90
∴∠C=90°
∴四邊形ABCG為矩形
∵AB=BC=2cm
∴四邊形ABCG為正方形
∴AG=CG=AB=2cm
∵tan∠D=

1

2

∴

AG

DG

=

1

2

，

EF

DF

=

1

2

∴

2

DG

=

1

2

∴DG=4，則CD=DG+CG=4+2=6cm
（1）當D’與C重合時，DF=

1

2

CD=3

①如圖①，當0＜x≤3時，△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分為Rt△EFD′，
由題知：D′F=DF=x
∴S=

1

2

EF•D′F=

1

2

×

1

2

x•x=

1

4

x2
②如圖②，當3＜x≤4時，△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分為直角梯形EFCP
此時，D′F=DF=x，EF=

1

2

DF=

1

2

x，
則CD′=DD′-DC=2x-6，F(xiàn)C=D′F-CD′=x-（2x-6）=6-x
由題意可得：tan∠D′=tan∠D=

1

2

∴

PC

CD′

=

1

2

∴PC=

1

2

CD′=x-6
S=

1

2

(EF+PC)•FC
=

1

2

(

1

2

x+x-6)•(6-x)
=-

3

4

x2+6x+9
綜上，△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分面積為S與x的函數(shù)關系式為：
S=

1 4 x2  (0＜x＜3) - 3 4 x2+6x+9  (3＜x≤4)

（2）答：存在，理由如下：
∵tan∠D=

1

2

∴∠D=∠D′EA≠45° 則∠AED≠90°
①當∠AD′E=90°時，ED′²+AD²=AE²
∵ED′=DE=

DF2+EF2

=

x2+( x 2 )2

=

5

2

x
∴AE=AD-DE=2

5

-

5

2

x
又∵AD²=（4-2x）²+2²
∴(

5

2

x)2+(4-2x)2=(2

5

-

5

2

x)2
解得x1=

3

2

，x₂=0（舍去）
②當∠EAD′=90°時，AE²+AD′²=ED′²
∵AD²=（2x-4）²+2²
∴（2x-4）²+22+(2

5

-

5

2

x)2=(

5

x

)2
解得x1=

5

2

，x₂=4（舍去）
（綜上所述，當x=

3

2

或x=

5

2

時，△AED′是直角三角形．
（3）①當∠IGH=90°時，如圖③所示：

設CG=x，BG=2-x
∵AD∥GH
∴∠GHC=∠D
∴tan∠GHC=tan∠D=

1

2

∴CH=2x
∴GH=

(2x)2+x2

=

5

x
∵△GHI為等腰直角三角形
∴IG=GH=

5

x
∵∠CHG+∠CGH=90°，∠CGH+∠BGI=90°
∴∠CHG=∠BGI
∵∠C=∠B=90°
∴△CHG≌△BGI
∴IB=CG=x
∵GI²=BI²+BG²
∴5x²=x²+（2-x）²
解得x=

2

3

或-2
∴IB=2或

2

3

②當∠IHG=90°時，如圖④所示：
∵∠BGI=180°-∠IGH-∠CGH
∴cos∠BGI=-cos（∠IGH+∠CGH）
設CG=x，BG=2-x
∵△GHI為等腰直角三角形
∴∠IGH=45°
∵AD∥GH
∴∠GHC=∠D
∴tan∠GFC=

1

2

∴CH=2x
∴GH=

(2x)2+x2

=

5

x
IG=

2

GH=

10

x
∴cos∠CGH=

1

5

，sin∠CGH=

2

5

∴cos∠BGI=-cos（∠IGH+∠CGH）
=-cos45°•cos∠CGH+sin45°•sin∠CGH
=-

2

2

×

1

5

+

2

2

×

2

5

=

1

10

∵cos∠BGI=

BG

IG

=

2-x

10 x

∴

2-x

10 x

=

1

10

解得x=1
∴IG=10，BG=1
∴IB=

IG2-BG2

=

10-1

=3
∴IB=2或3或

2

3

．

點評：此題主要考查了直角三角形的判定與性質和正方形的判定及三角形面積求法等知識，利用重疊性質得出對應邊之間的關系是解題關鍵．